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波束形成算法

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前言: 本文根据张小飞的阵列信号处理理论与应用第2版一书整理了波束形成算法

自适应波束形成(Adaptive beamforming), 又称空域滤波, 它能够根据阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)的变化自适应的改变权重向量\(\mathbf{w}\), 输出对阵列输出加权求和\(y[n]\), 以达到增强期望信号, 抑制干扰的目的。p.s. 粗体\(\mathbf{w}\)表示向量/矩阵, 常规体\(d[t]\)表示标量。 \[ y[t]=\mathbf{w}^H\mathbf{x}[t] \] 几个要点:

  1. 假定任意时刻信号在各阵元上的振幅相同, \(\mathbf{w}\)选用移相器\(\mathbf{a}(\theta)=[1,...,e^{-j(M-1)w\tau}]\), \(w=2\pi f=\frac{2\pi c}{\lambda}\), \(\tau=\frac{d\sin\theta}{c}\).

  2. 阵列信号由波达方向为\(\theta_d\)的期望信号\(d[t]\)、波达方向为\(\theta_j\)的\(J\)个干扰信号\(i_j[t]\)和白噪声\(\mathbf{n}[t]\)构成 \[ \mathbf{x}[t]=\mathbf{a}(\theta_d)d[t]+\sum_{j=1}^J\mathbf{a}(\theta_j)i_j[t]+\mathbf{n}[t]\label{model} \] 期望能从\(\mathbf{x}[t]\)恢复出\(d[t]\).

  3. 如果两个同频信号的空间方位角间隔大于阵列间隔的倒数时, 它们方可被分辨开, 这是瑞利限.

LCMV波束形成

波束形成器输出的平均功率为: \[ P(\mathbf{w})=\mathbb{E}\left[\left\vert y[t]\right\vert^2\right]=\mathbb{E}\left[\left\vert d[t]\right\vert^2\right]\left\vert\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)\right\vert^2+\sum_{j=1}^J\mathbb{E}\left[\left\vert i_j[t]\right\vert^2\right]\left\vert\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_j)\right\vert^2+\sigma_n^2\Vert\mathbf{w}\Vert^2 \] LCMV波束形成的优化问题如下: \[ \begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)=f \end{alignat} \] 其中\(\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}\)为阵列阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)的协方差矩阵. Lagrange乘子方法求得LCMV波束形成的最优权向量(Linearly Constrained Minimum Variance, LCMV): \[ \mathbf{w}_{_{LCMV}}=\frac{f^*\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}{\mathbf{a}^H(\theta_d)\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)} \] 而\(d[t]=\mathbf{w}_o^H\mathbf{x}[t]\), 下面不再赘述. 特别地, 当\(f=1\)时称MVDR(Minimum Variance Distortionless Response)波束形成.

要点:

  1. 需要知道精确的期望信号导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\).

GSC波束形成

GSC波束形成本质上只是在LCMV的基础上增加了约束的个数, GSC的优化问题如下: \[ \begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{C}^H\mathbf{w}=\mathbf{f} \end{alignat} \] 其中\(\mathbf{C}\)为\(M\times(J+1)\)维约束矩阵. 可由Lagrange乘子方法求得GSC波束形成的最优权向量(Generalized Sidelobe Canceller, GSC): \[ \mathbf{w}_{_{GSC}}=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{C}^H\mathbf{R}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{f}\label{GSC1} \] 也可由正交子空间方法求得最优权向量: \[ \mathbf{w}_{_{GSC}}=\mathbf{w}_{q}-\mathbf{B}\mathbf{w}_a=\mathbf{w}_{q}-\mathbf{B}(\mathbf{B}^H\mathbf{R}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{B}^H\mathbf{R}\mathbf{w}_q\label{GSC2} \] 其中\(\mathbf{w}_q=(\mathbf{C\mathbf{C}^H})^{-1}\mathbf{C}\mathbf{f}\), 阻塞矩阵\(\mathbf{B}\)的列向量位\(\mathbf{C}\)的正交补空间中.

要点:

  1. \(\mathbf{C}\), \(\mathbf{f}\)需要人为确定, 且\(\mathbf{C}\)包含\(\mathbf{a}(\theta_d)\).
  2. 由于阵元增益存在幅度误差和相位误差\(\mathbf{G}\), 实际的期望信号导向向量\(\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)\)不完全在\(\mathbf{C}\)张成的空间中, 此时\(\mathbf{B}^H\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)d[t]\neq 0\), 就会出现期望相消的现象.
  3. 正交子空间方法要求\(J+1<M\).

IGSC波束形成

首先将协方差矩阵通过EVD分解为信号-干扰子空间\(S\)与噪声子空间\(N\): \[ \mathbf{R}=\mathbf{U}_S\Sigma_S\mathbf{U}_S^H+\mathbf{U}_N\Sigma_N\mathbf{U}_N^H \] 接着将\(\mathbf{a}(\theta_d)\)​投影到信号-干扰子空间中: \[ \mathbf{a}'(\theta_d)=\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{a}(\theta_d) \] 最后只需带入公式\(\ref{GSC1}\)或\(\ref{GSC2}\)计算求得解(为了方便理解, 这里假定约束个数只有一个, 因此只需将\(\mathbf{a}'(\theta_d)\)带换\(\mathbf{C}\)​​​​​) \[ \mathbf{w}_{_{IGSC}}=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}'(\theta_d)(\mathbf{a}'(\theta_d)^H\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}'(\theta_d))^{-1}\mathbf{f} \] 要点:

  1. 在实际的导向向量\(\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)\)属于信号-干扰子空间\(S\)中的假设条件下, 投影后的导向向量\(\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{a}(\theta_d)\)会比\(\mathbf{a}(\theta_d)\)更加接近实际的导向向量\(\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)\), 从而能够带来更精确的解.
  2. 当白噪声信号的能量较大, 即SNR值较低, 此时EVD分解没法很好的区分信号-干扰子空间与噪声子空间​, 信号子空间会包含噪声, 波束形成图会有畸变.
  3. 要求\(J+1<M\)​, 且当\(J+1=M\)​时, 投影为恒等变换.
  4. \(J\)此时实际上也为信号-干扰子空间\(S\)的维数, 必须恰当选取.

ES-GSC波束形成

首先将协方差矩阵通过EVD分解为信号-干扰子空间\(S\)与噪声子空间\(N\): \[ \mathbf{R}=\mathbf{U}_S\Sigma_S\mathbf{U}_S^H+\mathbf{U}_N\Sigma_N\mathbf{U}_N^H \] 接着用\(\mathbf{U}_S\)​与期望信号的导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\)​构成广义信号-干扰子空间\(\mathbf{U}\)​, 对\(\mathbf{U}\)​再做SVD得到左奇异空间\(\mathbf{U}_{L}\)​, 最后按照公式\(\ref{GSC1}\)​或\(\ref{GSC2}\)​计算求得的最优权向量\(\mathbf{w}_{_{GSC}}\)​投影至左奇异向量构成的空间\(\mathbf{U}_L\)​中: \[ \mathbf{w}_{_{ES-GSC}}=\mathbf{U}_L\mathbf{U}_L^H\mathbf{w}_{_{GSC}} \] 要点:

  1. 带上期望信号导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\)的信号子空间\(\mathbf{U}\)再对\(\mathbf{a}(\theta_d)\)做投影失去意义, 因此直接投影最优权向量.
  2. 引入\(\mathbf{a}(\theta_d)\), 这降低了信号子空间的噪声, 因此具有较好的噪声鲁棒性.
  3. 正交子空间方法要求\(J+1<M\).

EBS波束形成

首先将协方差矩阵通过EVD分解为信号-干扰子空间\(S\)与噪声子空间\(N\): \[ \mathbf{R}=\mathbf{U}_S\Sigma_S\mathbf{U}_S^H+\mathbf{U}_N\Sigma_N\mathbf{U}_N^H \] 将SMI波束形成算法得到的最优权向量 \[ \mathbf{w}_o=\mu\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d) \] (p.s.当\(\mu=\frac{f^*}{\mathbf{a}^H(\theta_d)\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}\)即LCMV)投影至信号子空间\(\mathbf{U}_S\)中: \[ \mathbf{w}_{_{EBS}}=\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{w}_{o} \] 要点:

  1. 可类比IGSC波束形成, 区别在于对\(\mathbf{a}(\theta_d)\)和\(\mathbf{w}_o\)做投影.
  2. 信号子空间\(\mathbf{U}_S\)必须包含期望信号导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\), 否则投影不是最优的.
  3. 当白噪声信号的能量较大, 信号子空间会包含噪声, 波束形成图会有畸变.
  4. 要求\(J+1<M\), 且当\(J+1=M\)时, 投影为恒等变换.

IEBS波束形成

对协方差矩阵\(\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}\)​​进行特征值分解, 用最大的\(J+1\)​​或\(J\)​​个特征值对应的特征向量与期望信号的导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\)​​构成信号子空间\(\mathbf{U}\)​​, 对\(\mathbf{U}\)​​再做奇异值分解, 将SMI波束形成算法得到的最优权向量\(\mathbf{w}_o\)​​投影至左奇异向量构成的空间\(\mathbf{U}_S\)​​中: \[ \mathbf{w}_{_{IEBS}}=\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{w}_{o} \] 要点:

  1. 可类比ES-GSC波束形成, 区别在于对\(\mathbf{w}_{_{GSC}}\)和\(\mathbf{w}_o\)做投影.
  2. 引入\(\mathbf{a}(\theta_d)\), 这降低了信号子空间的噪声, 因此具有较好的噪声鲁棒性.
  3. 要求\(J+1<M\).

基于斜投影的波束形成

关于投影:

  1. \(P\) is a projection along null space \(V\) onto range space \(U\).
  2. In Hilbert space, we have the concept of inner \(\langle u_1, v_1 \rangle=u_1^Hv_1\), then the concept of orthogonality\(\langle u_1, v_1 \rangle=0\).
  3. If \(U\) and \(V\) are orthogonal, call \(P\) orthogonal projection; If \(U\) and \(V\) are non-orthogonal, call \(P\) oblique projection(斜投影);
  4. In orthogonal projection, when \(U\) are orthonormal basis(正交基), \(P=UU^H\); when \(U\) are not orthonormal basis \(P=U(U^HU)^{-1}U^H\); for general inner product \(\langle u_1, v_1 \rangle=u_1^HDv_1\), \(P=U(U^HDU)^{-1}U^HD\).
  5. In oblique projection, \(P=U(B^HU)^{-1}B^H\), where \(B\) is the orthogonal complement of null space \(V\).

如下定义斜投影算子\(E_{AB}\)为沿着\(B\)到\(A\)上的投影: \[ E_{AB}=A\left(A^HP_B^\perp A\right)^{-1}A^HP_B^\perp \] 其中\(P_B^\perp=I-B(B^HB)^{-1}B^H\). 定义\(B=\left[\mathbf{a}(\theta_1),...,\mathbf{a}(\theta_J)\right]\), \(B\)与\(\mathbf{a}(\theta_d)\)显然不正交. 将阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)沿着\(B\)斜投影到\(\mathbf{a}(\theta_d)\)上: \[ \mathbf{x}'[t]=E_{\mathbf{a}(\theta_d)B}\mathbf{x}[t]=\mathbf{a}(\theta_d)\left(\mathbf{a}(\theta_d)^HP_B^\perp \mathbf{a}(\theta_d)\right)^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)^HP_B^\perp\mathbf{x}[t] \] 接着进行空域滤波匹配, 得到期望信号: \[ d[t]=\mathbf{a}(\theta_d)^H\mathbf{x}'[t] \] 要点:

  1. 该算法不涉及权重向量\(\mathbf{w}\).
  2. \(P_B^\perp\)难以计算, 一般对协方差矩阵\(\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}\)进行特征值分解\(\mathbf{R}=U\Sigma U^H\), 用除前\(J+1\)个特征值之外的特征值的均值作为白噪声方差\(\sigma^2\)的估计值, 定义\(\mathbf{R}_A=\mathbf{R}-\sigma^2I\),用\(\mathbf{R}_A\)的伪逆\(\mathbf{R}_A^+\)取代\(P_B^\perp\).
  3. 要求\(J+1<M\).

AMV波束形成

AMV波束形成的优化问题如下: \[ \begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{\tilde{R}}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)=1 \end{alignat} \] 其中\(\mathbf{\tilde{R}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\mathbf{a}(\theta_d)\mathbf{a}(\theta_d)^H \mathrm{d}\theta\)为阵列固有的协方差矩阵. Lagrange乘子方法求得AMV波束形成的最优权向量: \[ \mathbf{w}_o=\frac{\mathbf{\tilde{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}{\mathbf{a}^H(\theta_d)\mathbf{\tilde{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)} \] 要点

  1. 假设入射信号角度为\([0,2\pi]\)上的独立均匀抽样, 阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)的协方差矩阵\(\mathbf{R}\)会随着入射信号数的增大而逐渐趋向\(\mathbf{\tilde{R}}\), 因此AMV为入射信号无穷情形下的LCMV.
  2. 需要知道精确的期望信号导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\).

基于四阶累积量的波束形成

关于累积量:

  1. \(M\)维随机变量\(\mathbf{x}[t]\)的\(r=k_1+\cdots+k_M\)阶累积量定义为 \[ C_{k_1,...,k_M}=\frac{\partial^r\Psi(\omega_1,\dots,\omega_M)}{(\partial\omega_1)^{k_1}\cdots(\partial\omega_M)^{k_M}}\mid_{\omega_i=0} \] 其中\(\Psi(\omega_1,\dots,\omega_M)=\ln\left(\mathbb{E}\left[\omega_1x_1[t]+\cdots+\omega_M x_M[t]\right]\right)\)

  2. 零均值\(M\)维随机变量\(\mathbf{x}[t]\)的四阶累积量与矩有如下关系 \[ cum\{X,Y,Z,W\}=\mathbb{E}(XYZW)-\mathbb{E}(XY)\mathbb{E}(ZW)-\mathbb{E}(XZ)\mathbb{E}(YW)-\mathbb{E}(XW)\mathbb{E}(YZ) \] 比如 \[ cum\{x_1[t], x_1^*[t],x_1^*[t], x_m[t]\}=\mathbb{E}(x_1[t]x_1^*[t]x_1^*[t]x_m[t])-\mathbb{E}(x_1[t]x_1^*[t])\mathbb{E}(x_1^*[t]x_m[t])-\mathbb{E}(x_1[t]x_1^*[t])\mathbb{E}(x_1^*[t]x_m[t])-\mathbb{E}(x_1[t]x_m[t])\mathbb{E}(x_1^*[t]x_1^*[t]) \]

  3. 若\(d[t]\)与\(i_j[t]\)独立, 有 \[ cum\{d[t]+i_j[t], d[t]+i_j[t]\}=cum\{d[t], d[t]\}+cum\{i_j[t], i_j[t]\}\label{cum1} \]

  4. 若\(i_j[t]\)服从高斯分布, 有 \[ cum\{i_j[t], i_j[t], i_j[t],...\}=0\label{cum2} \] 即高斯信号三阶级以上的累积量为0.

定义阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)的四阶累积量为 \[ C_{4m}=cum\{x_1[t], x_1^*[t],x_1^*[t], x_m[t]\}, m=1,\dots,M \] 令\(\mathbf{C}_4=[C_{41},\dots,C_{4M}]\), 可以证明, \(\mathbf{C}_4\)只与\(\mathbf{a}(\theta_d)\)相差一个常数\(\beta\), 因此可以作为\(\mathbf{a}(\theta_d)\)的估计值. 最后可用LCMV波束形成的到最优权向量 \[ \mathbf{w}_{_{cum1}}=\beta\mathbf{R}^{-1}\mathbf{C}_4 \] 或是进行盲波束形成 \[ \mathbf{w}_{_{cum2}}=\rho\{\mathbf{R}^{-1}\sigma^2\mathbf{C}_4\mathbf{C}_4^H\} \] 其中\(\rho\{\}\)表示求最大特征值对应的特征向量, \(\sigma^2\)为期望信号的功率.

要点:

  1. 要求期望信号\(d[t]\)、\(J\)个干扰信号\(i_j[t]\)和白噪声\(\mathbf{n}[t]\)均两两独立, 且假定期望信号\(d[t]\)为非高斯信号, 而\(J\)个干扰信号\(i_j[t]\)和白噪声\(\mathbf{n}[t]\)均为高斯信号.

  2. 结合\(\ref{model}\), \(\mathbf{C}_4=\beta\mathbf{a}(\theta_d)\)的证明只需要用到性质\(\ref{cum1}\), \(\ref{cum2}\) \[ \begin{alignat}{2} C_{4m}& =cum\{a_1(\theta_d)d[t], a_1^*(\theta_d)d^*[t], a_1^*(\theta_d)d^*[t], a_m(\theta_d)d[t]\}\\ &=\vert a_1(\theta_d)\vert^2a_1^*(\theta_d)cum\{d[t], d^*[t], d^*[t], d[t]\}a_m(\theta_d)\\ &=\beta a_m(\theta_d) \end{alignat} \] 因此\(\beta=\vert a_1(\theta_d)\vert^2a_1^*(\theta_d)cum\{d[t], d^*[t], d^*[t], d[t]\}\). 当干扰信号\(i_1[t]\)为非高斯信号, 此时\(\mathbf{C}_4=\beta_1\mathbf{a}(\theta_d)+\beta_2\mathbf{a}(\theta_1)\), 且\(\beta_2=\vert a_1(\theta_1)\vert^2a_1^*(\theta_1)cum\{i_1[t], i_1^*[t], i_1^*[t], i_1[t]\}\).

CAB波束形成

关于周期平稳信号:

  1. 对于阵列接收信号矢量\(\mathbf{x}[k]\)​​, 其周期平稳相关矩阵定义为 \[ \phi_{\mathbf{x}\mathbf{x}}(n_0,\alpha)=\overline{[\mathbf{x}[k]\mathbf{x}^H[k]e^{-j2\pi\alpha k}]_{\infty}}=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\mathbf{x}[k]\mathbf{x}^H[k]e^{-j2\pi\alpha k} \] 类似的, 周期共轭平稳相关矩阵定义为 \[ \phi_{\mathbf{x}\mathbf{x}}(n_0,\alpha)=\overline{[\mathbf{x}[k]\mathbf{x}^T[k]e^{-j2\pi\alpha k}]_{\infty}}=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\mathbf{x}[k]\mathbf{x}^T[k]e^{-j2\pi\alpha k} \] 如果信号在时延\(n_0\)​和频率偏\(\alpha\)时非零, 则此信号称为周期平稳信号.

  2. 实际计算过程中均采用有限采样长度\(N\)的时间平均, 并可将周期平稳相关矩阵和周期共轭平稳相关矩阵统一记号, 记作 \[ \hat{R}_{\mathbf{x}\mathbf{u}}=\left\{ \begin{aligned} \hat{\phi}_{\mathbf{x}\mathbf{x}}(n_0,\alpha) & = \overline{[\mathbf{x}[k]\mathbf{x}^H[k]e^{-j2\pi\alpha k}]_{N}} \\ \hat{\phi}_{\mathbf{x}\mathbf{x}^*}(n_0,\alpha) & = \overline{[\mathbf{x}[k]\mathbf{x}^T[k]e^{-j2\pi\alpha k}]_{N}} \end{aligned} \right. \] 这里\(\mathbf{u}[k]=\mathbf{x}[k+n_0]e^{j2\pi\alpha k}\)​​表示时频位移矢量.

CAB波束形成的优化问题如下: \[ \begin{alignat}{2} \max_{\mathbf{w}, \mathbf{c}} \quad & \mathbf{w}^H\hat{R}_{\mathbf{x}\mathbf{u}}cc^H\hat{R}_{\mathbf{x}\mathbf{u}}^{H}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{w}^H\mathbf{w}=\mathbf{c}^H\mathbf{c}=1 \end{alignat} \] 假定这里的\(\mathbf{w}, \mathbf{c}\)​能使得标量信号\(\mathbf{w}^H\mathbf{x}[t]\)​和\(\mathbf{c}^H\mathbf{u}[t]\)​有极高的相关值, 即最大化时间平均量\(\left\vert[\mathbf{w}^H\mathbf{x}[t]\mathbf{c}\mathbf{u}^H[t]]_N\right\vert^2\)​,这也就顺便获得了期望信号. 由拉格朗日乘子法得\(\mathbf{w}, \mathbf{c}\)​分别为\(\hat{R}_{\mathbf{x}\mathbf{u}}\)​的最大奇异值对应的左右奇异向量, 记\(\mathbf{w}_{_{CAB}}\)​.

要点:

  1. 假定了期望信号为周期平稳信号.
  2. 假定了期望信号与干扰信号不相关.

C-CAB波束形成

C-CAB波束形成在CAB的基础上应用MVDR, 其优化问题如下: \[ \begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{w}^H\mathbf{w}_{_{CAB}}=1 \end{alignat} \] 这里\(\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}\)​为阵列阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)​的协方差矩阵.由拉格朗日乘子法得 \[ \mathbf{w}_{_{C-CAB}}=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{w}_{_{CAB}} \] 要点:

  1. 继承了MVDR的问题.

R-CAB波束形成

R-CAB在C-CAB的基础上采用传统的对角线加载技术 \[ \mathbf{w}_{_{R-CAB}}=(\mathbf{R}-\mathbf{R}_s+\gamma I)^{-1}\mathbf{w}_{_{CAB}} \] 这里的\(\mathbf{R}_s\)​为期望信号部分的自相关矩阵, 单个期望信号的情况下有\(\mathbf{R}_s=\sigma_s^2 \mathbf{w}_{_{CAB}}\mathbf{w}_{_{CAB}}^H\)​​​​, \(\sigma_s^2\)​​为期望信号的方差.

要点:

  1. 对角线加载技术通过增大小特征值信号(噪声信号)的特征值的方式来减小噪声信号特征值的扰动, 从而减弱了小特征值信号在快拍数有限时的影响.

基于恒模的盲波束形成

基于恒模的盲波束形成的优化问题如下 \[ \begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \mathbb{E}\left[\left\vert\left\vert \mathbf{w}^H\mathbf{x}[t]\right\vert^p -1\right\vert^q\right] \end{alignat} \] 可直接用随机梯度下降方法(最新一个样本)或高斯牛顿方法(最新K个样本)解之, 对应随机梯度恒模算法和LS-CMA.

要点:

  1. 基于恒模的方法仅仅对期望信号的模做了约束.

SMI波束形成

SMI波束形成是LCMV波束形成的一种一般化 \[ \mathbf{w}_o=\mu\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d) \] 这里\(\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}\)​为阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)​的协方差矩阵. 当\(\mu=\frac{f^*}{\mathbf{a}^H(\theta_d)\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}\)​即LCMV.

要点:

  1. 假定阵列接收信号由\(P\)​个信号构成, 体现在协方差矩阵\(\mathbf{R}\)​​由特征值较大的信号和特征值较小的噪声两部分组成 \[ \mathbf{R}=\sum_{i=1}^P\lambda_i\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^H+\sigma_n^2\sum_{i=P+1}^M\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^H=\sum_{i=1}^P(\lambda_i-\sigma_n^2)\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^H+\sigma_n^2\mathbf{I} \] 其中\(\lambda_1\ge \lambda_2\ge\dots\ge\lambda_P>\lambda_{P+1}=\dots=\lambda_M=\sigma_n^2\)​, 继而由矩阵求逆引理得 \[ \mathbf{w}_o=\mu\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)=\frac{\mu}{\sigma_n^2}\left[\mathbf{a}(\theta_d)-\sum_{i=1}^P\frac{\lambda_i-\sigma_n^2}{\lambda_i}\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^H\mathbf{a}(\theta_d)\right] \]

  2. 实际计算由\(K\)​次采样信号来得到\(\mathbf{R}\)​的估计值\(\hat{\mathbf{R}}=\frac{1}{K}\sum_{i=1}^K\mathbf{x(t_i)}\mathbf{x(t_i)}^H\)​, 此时\(\hat{\mathbf{R}}\)​的特征值很有可能不满足后\(M\)​​个都一样, 因此就没法完全消除噪声信号带来的影响 \[ \hat{\mathbf{w}}_o=\mu\hat{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)=\frac{\mu}{\hat{\lambda}_M}\left[\mathbf{a}(\theta_d)-\sum_{i=1}^M\frac{\hat{\lambda}_i-\hat{\lambda}_M}{\hat{\lambda}_i}\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^H\mathbf{a}(\theta_d)\right] \] 我们需要一些技术来降低噪声信号带来的影响.

ADL-SMI波束形成

ADL-SMI是在SMI的基础上加上了自适应的加载量 \[ \mathbf{w}_o=\mu(\mathbf{R}+L\mathbf{I})^{-1}\mathbf{a}(\theta_d) \] 此时 \[ \hat{\mathbf{w}}_o=\mu\hat{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)=\frac{\mu}{\hat{\lambda}_M}\left[\mathbf{a}(\theta_d)-\sum_{i=1}^M\frac{\hat{\lambda}_i-\hat{\lambda}_M}{\hat{\lambda}_i+L}\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^H\mathbf{a}(\theta_d)\right] \] ADL-SMI波束形成的加载量\(L\)可由如下方式确定

  1. 计算\(\xi=\frac{1}{M-P}\sum_{i=P+1}^M\lambda_i\)​​​​​
  2. 给定常数字\(d\)​​, \(\xi>d\)​​视为信噪比较低的情况, 取\(L=0\)​​; \(\xi\le d\)​​视为信噪比较高的情况, 取\(L\)​逐渐变大.

要点:

  1. 加载量\(L\)过大, 同时也会抑制信号,导致SINR降低; 加载量\(L\)过小, 对噪声的抑制就不明显.
  2. 加载量\(L\)的确定可通过画出方向图\(G(\mathbf{w},\theta)=\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta)\)来判断, 信号一般具有明显的方向性, 而噪声一般不具备. 适中的\(L\)能够较好的保留信号同时抑制噪声.

基于空间频域的波束形成

FLMS-ABF

  1. 首先对阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)​进行FFT

\[ \mathbf{r}[t]=\mathbf{W}\mathbf{x}[t] \]

这里\(\mathbf{W}\)​​​为\(M\times M\)​​​​的对称矩阵、酉矩阵 \[ \mathbf{W}[u,v]=\frac{1}{\sqrt{M}}\exp(\frac{-j2\pi u v}{M})\quad u,v\in[0,M-1] \]

  1. LMS求解 \[ \min_{V} \mathbb{E}\left[(d[t]-V^T[t]\mathbf{r}[t])^2\right] \] 其中\(d[t]\)​为期望信号, 算法输出值为 \[ y[t]=V^T[t]\mathbf{r}[t] \]

要点:

  1. LMS本质上为随机梯度方法, 在目标函数强凸(这里的二次函数显然满足)且步长满足\(O(1/k)\)​​的衰减速率的前提下, 随机梯度方法能以\(O(\kappa/k)\)​​的速率收敛到其最小值点. 这里的\(\kappa\)​​指带问题的条件数, 特别地, 这里二次问题的条件数\(\kappa\)​​恰为矩阵\(\mathbf{r}[t]\)​​的最大/最小奇异值的模之比\(\kappa (\mathbf{r}[t])={\frac {\sigma _{\text{max}}(\mathbf{r}[t])}{\sigma _{\text{min}}(\mathbf{r}[t])}}\)​​, 也即\(\mathbf{r}[t]\)​​​的自相关矩阵的最大最小特征值之比再开根号.

  2. 对于一般的矩阵范数, 矩阵的条件数定义为\(\kappa(A)=\Vert A\Vert\Vert A^{-1}\Vert\)​​​, 由 \[ \kappa(AB)=\|AB\|\,\|(AB)^{-1} \| \le \|A\|\,\|B\|\,\|B^{-1}\|\,\|A^{-1} \| =\kappa(A)\kappa(B) \] 以及酉矩阵的条件数为1知, 对阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)进行FFT至少不会增加条件数.

  3. 也可在FFT之后再做一步带通滤波, 即 \[ \mathbf{r}[t]=\mathbf{W}_B\mathbf{W}\mathbf{x}[t] \]

小波域的波束形成

  1. 首先对阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)​​进行小波变换

\[ \mathbf{r}[t]=\mathbf{W}\mathbf{x}[t] \]

这里\(\mathbf{W}\).

  1. LMS求解 \[ \min_{V} \mathbb{E}\left[(d[t]-V^T[t]\mathbf{r}[t])^2\right] \] 其中\(d[t]\)​为期望信号, 算法输出值为 \[ y[t]=V^T[t]\mathbf{r}[t] \]

要点:

  1. 小波变换后的信号自相关性下降, 这进一步改善了问题的条件数.

鲁棒的波束形成

LCMV方法的最大特点为需要知道精确的期望信号导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\)​, 而实际情况中的期望信号的导向向量往往不是精确的, 为了提高LCMV波束形成对导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\)​​的鲁棒性, 我们有以下几种改进方法.

基于二次正则的方法

基于二次正则的方法为在MVDR(即LCMV中\(f=1\)​​)优化目标函数的基础上加了一个二次正则: \[ \begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}+\xi\mathbf{w}^H\mathbf{w} \\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)=1 \end{alignat} \] Lagrange乘子方法求得解为(Diagonal Loading-Sample Matrix Inversion, DL-SMI): \[ \mathbf{w}_{_{DL-SMI}}=\frac{(\mathbf{R}+\xi \mathbf{I})^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}{\mathbf{a}^H(\theta_d)(\mathbf{R}+\xi \mathbf{I})^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)} \] 要点:

  1. 加二次正则等价于对协方差矩阵的特征值都加上了一个常数, 这显著改善问题的条件数(自相关矩阵的最大最小特征值之比再开根号), 增强了解的鲁棒性.
  2. 对角加载系数\(\xi\)​​​需要人为确定.

基于子空间的方法

首先将协方差矩阵通过EVD分解为信号-干扰子空间\(S\)与噪声子空间\(N\): \[ \mathbf{R}=\mathbf{U}_S\Sigma_S\mathbf{U}_S^H+\mathbf{U}_N\Sigma_N\mathbf{U}_N^H \] 再将导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\)投影至信号-干扰子空间\(S\). 此时最优权向量为(Sub Space-Sample Matrix Inversion, SS-SMI), SS): \[ \mathbf{w}_{_{SS-SMI}}=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{a}(\theta_d) \] 要点:

  1. 仅适用SNR值较高的情形. 当SNR值较高, 信号-干扰子空间\(S\)与噪声子空间\(N\)可通过特征值分解鲁棒地区分开来; 当SNR值较低, 信号-干扰子空间\(S\)与噪声子空间\(N\)​就没法通过特征值分解鲁棒地区分开来.
  2. 在实际的导向向量\(\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)\)属于信号-干扰子空间\(S\)中的假设条件下, 投影后的导向向量\(\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{a}(\theta_d)\)会比\(\mathbf{a}(\theta_d)\)更加接近实际的导向向量\(\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)\)​, 从而能够带来更精确的解.
  3. 从数学上子空间投影的角度看, 投影操作本身就能够减小导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\)​​的误差, 从而增强了鲁棒性.
  4. 信号子空间\(S\)​的维数需要人为确定.

基于贝叶斯的方法

基于贝叶斯的方法的波束形成的最优权向量为(Bayes-Diagonal Loading-Sample Matrix Inversion, B-DL-SMI): \[ \mathbf{w}_{_{B-DL-SMI}}=\sum_{i=1}^Lp(\theta_i\mid \mathbf{X})\mathbf{w}_{_{DL-SMI}}(\theta_i) \] 其中\(\mathbf{X}\)​为\(K\)​个快拍采样的阵列信号; \(\mathbf{w}_{_{DL-SMI}}(\theta_i)\)​为DL-SMI波束形成以\(\theta_i\)​作为期望方向的解.

要点:

  1. 在DL-SMI的基础上, 结合了加权平均, 这增强了鲁棒性.
  2. 需要根据\(\mathbf{X}\)给出DOA角度的概率估计\(p(\theta_i\mid \mathbf{X})\).
  3. DL-SMI波束形部分的对角加载系数\(\xi\)​​需要人为确定.

基于最坏情况的方法

这种方法给导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\)​​的留下了一些误差余地\(\varepsilon\): \[ \begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w} \\ \mbox{s.t.}\quad &\left\vert\mathbf{w}^H\left(\mathbf{a}(\theta_d)+\delta\right)\right\vert\ge 1, \quad \forall \Vert\delta\Vert\le\varepsilon\\ \end{alignat} \] 其中\(\delta\)为导向向量的真实误差, \(\mathbf{a}(\theta_d)+\delta\)表示真实的导向向量. 可用Lagrange乘子方法求得最优权向量(Worst-Sample Matrix Inversion, W-SMI): \[ \mathbf{w}_{_{W-SMI}}=\frac{(\mathbf{R}+\lambda\varepsilon^2\mathbf{I})^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}{\lambda\mathbf{a}^H(\theta_d)(\mathbf{R}+\lambda\varepsilon^2 \mathbf{I})^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)-1} \] 要点:

  1. 给导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\)​​留下的了一些误差余地带来了鲁棒性.
  2. Lagrange乘子\(\lambda\)​​​​​需要将最优权向量入原问题后用Newton迭代得到, 计算量较大.
  3. 误差余地\(\varepsilon\)需要人为确定.

基于概率约束的方法

当导向向量误差\(\delta\)的分布已知, 可仅约束发生概率充分大的那些真实导向向量(Probability Constraint-Sample Matrix Inversion, PC-SMI) \[ \begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w} \\ \mbox{s.t.}\quad &\mbox{Pr}\left\{\left\vert\mathbf{w}^H\left(\mathbf{a}(\theta_d)+\delta\right)\right\vert\ge 1\right\}\ge p\\ \end{alignat} \] 比如假定导向向量误差\(\delta\)​满足零均值复高斯分布, 上述问题等价于 \[ \begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w} \\ \mbox{s.t.}\quad &\sqrt{2}\mbox{erf}^{-1}(\sqrt{p})\Vert \mathbf{C}_{\delta}^{1/2}\mathbf{w}\Vert\le\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)-1\\ \end{alignat} \] 其中\(\mbox{erf}^{-1}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^z e^{-x^2}\mbox{d}x\), \(\mathbf{C}_{\delta}\)为导向向量误差\(\delta\)的二阶统计. 当\(\mathbf{C}_{\delta}=\sigma_{\delta}^2\mathbf{I}\)和\(\varepsilon=\sigma_{\delta}\sqrt{2}\mbox{erf}^{-1}(\sqrt{p})\), 基于概率约束的方法就等价于基于最坏情况的方法.

要点:

  1. 概率值\(p\)需要人为确定.