波束形成算法

前言: 本文根据张小飞的阵列信号处理理论与应用第2版一书整理了波束形成算法

自适应波束形成(Adaptive beamforming), 又称空域滤波, 它能够根据阵列信号$\mathbf{x}[t]$的变化自适应的改变权重向量$\mathbf{w}$, 输出对阵列输出加权求和$y[n]$, 以达到增强期望信号, 抑制干扰的目的。p.s. 粗体$\mathbf{w}$表示向量/矩阵, 常规体$d[t]$表示标量。

$$y[t]=\mathbf{w}^H\mathbf{x}[t]$$ 几个要点:

1. 假定任意时刻信号在各阵元上的振幅相同, $\mathbf{w}$选用移相器$\mathbf{a}(\theta)=[1,...,e^{-j(M-1)w\tau}]$, $w=2\pi f=\frac{2\pi c}{\lambda}$, $\tau=\frac{d\sin\theta}{c}$.

2. 阵列信号由波达方向为$\theta_d$的期望信号$d[t]$、波达方向为$\theta_j$的$J$个干扰信号$i_j[t]$和白噪声$\mathbf{n}[t]$构成

   $$\mathbf{x}[t]=\mathbf{a}(\theta_d)d[t]+\sum_{j=1}^J\mathbf{a}(\theta_j)i_j[t]+\mathbf{n}[t]\label{model}$$ 期望能从$\mathbf{x}[t]$恢复出$d[t]$.

3. 如果两个同频信号的空间方位角间隔大于阵列间隔的倒数时, 它们方可被分辨开, 这是瑞利限.

LCMV波束形成

波束形成器输出的平均功率为:

$$P(\mathbf{w})=\mathbb{E}\left[\left\vert y[t]\right\vert^2\right]=\mathbb{E}\left[\left\vert d[t]\right\vert^2\right]\left\vert\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)\right\vert^2+\sum_{j=1}^J\mathbb{E}\left[\left\vert i_j[t]\right\vert^2\right]\left\vert\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_j)\right\vert^2+\sigma_n^2\Vert\mathbf{w}\Vert^2$$ LCMV波束形成的优化问题如下: $$\begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)=f \end{alignat}$$ 其中$\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}$为阵列阵列信号$\mathbf{x}[t]$的协方差矩阵. Lagrange乘子方法求得LCMV波束形成的最优权向量(Linearly Constrained Minimum Variance, LCMV): $$\mathbf{w}_{_{LCMV}}=\frac{f^*\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}{\mathbf{a}^H(\theta_d)\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}$$ 而$d[t]=\mathbf{w}_o^H\mathbf{x}[t]$, 下面不再赘述. 特别地, 当$f=1$时称MVDR(Minimum Variance Distortionless Response)波束形成.

要点:

1. 需要知道精确的期望信号导向向量$\mathbf{a}(\theta_d)$.

GSC波束形成

GSC波束形成本质上只是在LCMV的基础上增加了约束的个数, GSC的优化问题如下:

$$\begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{C}^H\mathbf{w}=\mathbf{f} \end{alignat}$$ 其中$\mathbf{C}$为$M\times(J+1)$维约束矩阵. 可由Lagrange乘子方法求得GSC波束形成的最优权向量(Generalized Sidelobe Canceller, GSC): $$\mathbf{w}_{_{GSC}}=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{C}^H\mathbf{R}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{f}\label{GSC1}$$ 也可由正交子空间方法求得最优权向量: $$\mathbf{w}_{_{GSC}}=\mathbf{w}_{q}-\mathbf{B}\mathbf{w}_a=\mathbf{w}_{q}-\mathbf{B}(\mathbf{B}^H\mathbf{R}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{B}^H\mathbf{R}\mathbf{w}_q\label{GSC2}$$ 其中$\mathbf{w}_q=(\mathbf{C\mathbf{C}^H})^{-1}\mathbf{C}\mathbf{f}$, 阻塞矩阵$\mathbf{B}$的列向量位$\mathbf{C}$的正交补空间中.

要点:

1. $\mathbf{C}$, $\mathbf{f}$需要人为确定, 且$\mathbf{C}$包含$\mathbf{a}(\theta_d)$.
2. 由于阵元增益存在幅度误差和相位误差$\mathbf{G}$, 实际的期望信号导向向量$\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)$不完全在$\mathbf{C}$张成的空间中, 此时$\mathbf{B}^H\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)d[t]\neq 0$, 就会出现期望相消的现象.
3. 正交子空间方法要求$J+1<M$.

IGSC波束形成

首先将协方差矩阵通过EVD分解为信号-干扰子空间$S$与噪声子空间$N$:

$$\mathbf{R}=\mathbf{U}_S\Sigma_S\mathbf{U}_S^H+\mathbf{U}_N\Sigma_N\mathbf{U}_N^H$$ 接着将$\mathbf{a}(\theta_d)$​投影到信号-干扰子空间中: $$\mathbf{a}'(\theta_d)=\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{a}(\theta_d)$$ 最后只需带入公式$\ref{GSC1}$或$\ref{GSC2}$计算求得解(为了方便理解, 这里假定约束个数只有一个, 因此只需将$\mathbf{a}'(\theta_d)$带换$\mathbf{C}$​​​​​) $$\mathbf{w}_{_{IGSC}}=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}'(\theta_d)(\mathbf{a}'(\theta_d)^H\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}'(\theta_d))^{-1}\mathbf{f}$$ 要点:

1. 在实际的导向向量$\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)$属于信号-干扰子空间$S$中的假设条件下, 投影后的导向向量$\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{a}(\theta_d)$会比$\mathbf{a}(\theta_d)$更加接近实际的导向向量$\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)$, 从而能够带来更精确的解.
2. 当白噪声信号的能量较大, 即SNR值较低, 此时EVD分解没法很好的区分信号-干扰子空间与噪声子空间​, 信号子空间会包含噪声, 波束形成图会有畸变.
3. 要求$J+1<M$​, 且当$J+1=M$​时, 投影为恒等变换.
4. $J$此时实际上也为信号-干扰子空间$S$的维数, 必须恰当选取.

ES-GSC波束形成

首先将协方差矩阵通过EVD分解为信号-干扰子空间$S$与噪声子空间$N$:

$$\mathbf{R}=\mathbf{U}_S\Sigma_S\mathbf{U}_S^H+\mathbf{U}_N\Sigma_N\mathbf{U}_N^H$$ 接着用$\mathbf{U}_S$​与期望信号的导向向量$\mathbf{a}(\theta_d)$​构成广义信号-干扰子空间$\mathbf{U}$​, 对$\mathbf{U}$​再做SVD得到左奇异空间$\mathbf{U}_{L}$​, 最后按照公式$\ref{GSC1}$​或$\ref{GSC2}$​计算求得的最优权向量$\mathbf{w}_{_{GSC}}$​投影至左奇异向量构成的空间$\mathbf{U}_L$​中: $$\mathbf{w}_{_{ES-GSC}}=\mathbf{U}_L\mathbf{U}_L^H\mathbf{w}_{_{GSC}}$$ 要点:

1. 带上期望信号导向向量$\mathbf{a}(\theta_d)$的信号子空间$\mathbf{U}$再对$\mathbf{a}(\theta_d)$做投影失去意义, 因此直接投影最优权向量.
2. 引入$\mathbf{a}(\theta_d)$, 这降低了信号子空间的噪声, 因此具有较好的噪声鲁棒性.
3. 正交子空间方法要求$J+1<M$.

EBS波束形成

首先将协方差矩阵通过EVD分解为信号-干扰子空间$S$与噪声子空间$N$:

$$\mathbf{R}=\mathbf{U}_S\Sigma_S\mathbf{U}_S^H+\mathbf{U}_N\Sigma_N\mathbf{U}_N^H$$ 将SMI波束形成算法得到的最优权向量 $$\mathbf{w}_o=\mu\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)$$ (p.s.当$\mu=\frac{f^*}{\mathbf{a}^H(\theta_d)\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}$即LCMV)投影至信号子空间$\mathbf{U}_S$中: $$\mathbf{w}_{_{EBS}}=\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{w}_{o}$$ 要点:

1. 可类比IGSC波束形成, 区别在于对$\mathbf{a}(\theta_d)$和$\mathbf{w}_o$做投影.
2. 信号子空间$\mathbf{U}_S$必须包含期望信号导向向量$\mathbf{a}(\theta_d)$, 否则投影不是最优的.
3. 当白噪声信号的能量较大, 信号子空间会包含噪声, 波束形成图会有畸变.
4. 要求$J+1<M$, 且当$J+1=M$时, 投影为恒等变换.

IEBS波束形成

对协方差矩阵$\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}$​​进行特征值分解, 用最大的$J+1$​​或$J$​​个特征值对应的特征向量与期望信号的导向向量$\mathbf{a}(\theta_d)$​​构成信号子空间$\mathbf{U}$​​, 对$\mathbf{U}$​​再做奇异值分解, 将SMI波束形成算法得到的最优权向量$\mathbf{w}_o$​​投影至左奇异向量构成的空间$\mathbf{U}_S$​​中:

$$\mathbf{w}_{_{IEBS}}=\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{w}_{o}$$ 要点:

1. 可类比ES-GSC波束形成, 区别在于对$\mathbf{w}_{_{GSC}}$和$\mathbf{w}_o$做投影.
2. 引入$\mathbf{a}(\theta_d)$, 这降低了信号子空间的噪声, 因此具有较好的噪声鲁棒性.
3. 要求$J+1<M$.

基于斜投影的波束形成

关于投影:

1. $P$ is a projection along null space $V$ onto range space $U$.
2. In Hilbert space, we have the concept of inner $\langle u_1, v_1 \rangle=u_1^Hv_1$, then the concept of orthogonality$\langle u_1, v_1 \rangle=0$.
3. If $U$ and $V$ are orthogonal, call $P$ orthogonal projection; If $U$ and $V$ are non-orthogonal, call $P$ oblique projection(斜投影);
4. In orthogonal projection, when $U$ are orthonormal basis(正交基), $P=UU^H$; when $U$ are not orthonormal basis $P=U(U^HU)^{-1}U^H$; for general inner product $\langle u_1, v_1 \rangle=u_1^HDv_1$, $P=U(U^HDU)^{-1}U^HD$.
5. In oblique projection, $P=U(B^HU)^{-1}B^H$, where $B$ is the orthogonal complement of null space $V$.

如下定义斜投影算子$E_{AB}$为沿着$B$到$A$上的投影:

$$E_{AB}=A\left(A^HP_B^\perp A\right)^{-1}A^HP_B^\perp$$ 其中$P_B^\perp=I-B(B^HB)^{-1}B^H$. 定义$B=\left[\mathbf{a}(\theta_1),...,\mathbf{a}(\theta_J)\right]$, $B$与$\mathbf{a}(\theta_d)$显然不正交. 将阵列信号$\mathbf{x}[t]$沿着$B$斜投影到$\mathbf{a}(\theta_d)$上: $$\mathbf{x}'[t]=E_{\mathbf{a}(\theta_d)B}\mathbf{x}[t]=\mathbf{a}(\theta_d)\left(\mathbf{a}(\theta_d)^HP_B^\perp \mathbf{a}(\theta_d)\right)^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)^HP_B^\perp\mathbf{x}[t]$$ 接着进行空域滤波匹配, 得到期望信号: $$d[t]=\mathbf{a}(\theta_d)^H\mathbf{x}'[t]$$ 要点:

1. 该算法不涉及权重向量$\mathbf{w}$.
2. $P_B^\perp$难以计算, 一般对协方差矩阵$\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}$进行特征值分解$\mathbf{R}=U\Sigma U^H$, 用除前$J+1$个特征值之外的特征值的均值作为白噪声方差$\sigma^2$的估计值, 定义$\mathbf{R}_A=\mathbf{R}-\sigma^2I$,用$\mathbf{R}_A$的伪逆$\mathbf{R}_A^+$取代$P_B^\perp$.
3. 要求$J+1<M$.

AMV波束形成

AMV波束形成的优化问题如下:

$$\begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{\tilde{R}}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)=1 \end{alignat}$$ 其中$\mathbf{\tilde{R}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\mathbf{a}(\theta_d)\mathbf{a}(\theta_d)^H \mathrm{d}\theta$为阵列固有的协方差矩阵. Lagrange乘子方法求得AMV波束形成的最优权向量: $$\mathbf{w}_o=\frac{\mathbf{\tilde{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}{\mathbf{a}^H(\theta_d)\mathbf{\tilde{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}$$ 要点

1. 假设入射信号角度为$[0,2\pi]$上的独立均匀抽样, 阵列信号$\mathbf{x}[t]$的协方差矩阵$\mathbf{R}$会随着入射信号数的增大而逐渐趋向$\mathbf{\tilde{R}}$, 因此AMV为入射信号无穷情形下的LCMV.
2. 需要知道精确的期望信号导向向量$\mathbf{a}(\theta_d)$.

基于四阶累积量的波束形成

关于累积量:

1. $M$维随机变量$\mathbf{x}[t]$的$r=k_1+\cdots+k_M$阶累积量定义为

   $$C_{k_1,...,k_M}=\frac{\partial^r\Psi(\omega_1,\dots,\omega_M)}{(\partial\omega_1)^{k_1}\cdots(\partial\omega_M)^{k_M}}\mid_{\omega_i=0}$$ 其中$\Psi(\omega_1,\dots,\omega_M)=\ln\left(\mathbb{E}\left[\omega_1x_1[t]+\cdots+\omega_M x_M[t]\right]\right)$

2. 零均值$M$维随机变量$\mathbf{x}[t]$的四阶累积量与矩有如下关系

   $$cum\{X,Y,Z,W\}=\mathbb{E}(XYZW)-\mathbb{E}(XY)\mathbb{E}(ZW)-\mathbb{E}(XZ)\mathbb{E}(YW)-\mathbb{E}(XW)\mathbb{E}(YZ)$$ 比如 $$cum\{x_1[t], x_1^*[t],x_1^*[t], x_m[t]\}=\mathbb{E}(x_1[t]x_1^*[t]x_1^*[t]x_m[t])-\mathbb{E}(x_1[t]x_1^*[t])\mathbb{E}(x_1^*[t]x_m[t])-\mathbb{E}(x_1[t]x_1^*[t])\mathbb{E}(x_1^*[t]x_m[t])-\mathbb{E}(x_1[t]x_m[t])\mathbb{E}(x_1^*[t]x_1^*[t])$$

3. 若$d[t]$与$i_j[t]$独立, 有

   $$cum\{d[t]+i_j[t], d[t]+i_j[t]\}=cum\{d[t], d[t]\}+cum\{i_j[t], i_j[t]\}\label{cum1}$$

4. 若$i_j[t]$服从高斯分布, 有

   $$cum\{i_j[t], i_j[t], i_j[t],...\}=0\label{cum2}$$ 即高斯信号三阶级以上的累积量为0.

定义阵列信号$\mathbf{x}[t]$的四阶累积量为

$$C_{4m}=cum\{x_1[t], x_1^*[t],x_1^*[t], x_m[t]\}, m=1,\dots,M$$ 令$\mathbf{C}_4=[C_{41},\dots,C_{4M}]$, 可以证明, $\mathbf{C}_4$只与$\mathbf{a}(\theta_d)$相差一个常数$\beta$, 因此可以作为$\mathbf{a}(\theta_d)$的估计值. 最后可用LCMV波束形成的到最优权向量 $$\mathbf{w}_{_{cum1}}=\beta\mathbf{R}^{-1}\mathbf{C}_4$$ 或是进行盲波束形成 $$\mathbf{w}_{_{cum2}}=\rho\{\mathbf{R}^{-1}\sigma^2\mathbf{C}_4\mathbf{C}_4^H\}$$ 其中$\rho\{\}$表示求最大特征值对应的特征向量, $\sigma^2$为期望信号的功率.

要点:

1. 要求期望信号$d[t]$、$J$个干扰信号$i_j[t]$和白噪声$\mathbf{n}[t]$均两两独立, 且假定期望信号$d[t]$为非高斯信号, 而$J$个干扰信号$i_j[t]$和白噪声$\mathbf{n}[t]$均为高斯信号.

2. 结合$\ref{model}$, $\mathbf{C}_4=\beta\mathbf{a}(\theta_d)$的证明只需要用到性质$\ref{cum1}$, $\ref{cum2}$

   $$\begin{alignat}{2} C_{4m}& =cum\{a_1(\theta_d)d[t], a_1^*(\theta_d)d^*[t], a_1^*(\theta_d)d^*[t], a_m(\theta_d)d[t]\}\\ &=\vert a_1(\theta_d)\vert^2a_1^*(\theta_d)cum\{d[t], d^*[t], d^*[t], d[t]\}a_m(\theta_d)\\ &=\beta a_m(\theta_d) \end{alignat}$$ 因此$\beta=\vert a_1(\theta_d)\vert^2a_1^*(\theta_d)cum\{d[t], d^*[t], d^*[t], d[t]\}$. 当干扰信号$i_1[t]$为非高斯信号, 此时$\mathbf{C}_4=\beta_1\mathbf{a}(\theta_d)+\beta_2\mathbf{a}(\theta_1)$, 且$\beta_2=\vert a_1(\theta_1)\vert^2a_1^*(\theta_1)cum\{i_1[t], i_1^*[t], i_1^*[t], i_1[t]\}$.

CAB波束形成

关于周期平稳信号:

1. 对于阵列接收信号矢量$\mathbf{x}[k]$​​, 其周期平稳相关矩阵定义为

   $$\phi_{\mathbf{x}\mathbf{x}}(n_0,\alpha)=\overline{[\mathbf{x}[k]\mathbf{x}^H[k]e^{-j2\pi\alpha k}]_{\infty}}=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\mathbf{x}[k]\mathbf{x}^H[k]e^{-j2\pi\alpha k}$$ 类似的, 周期共轭平稳相关矩阵定义为 $$\phi_{\mathbf{x}\mathbf{x}}(n_0,\alpha)=\overline{[\mathbf{x}[k]\mathbf{x}^T[k]e^{-j2\pi\alpha k}]_{\infty}}=\lim_{N\to\infty}\frac{1}{N}\sum_{k=1}^N\mathbf{x}[k]\mathbf{x}^T[k]e^{-j2\pi\alpha k}$$ 如果信号在时延$n_0$​和频率偏$\alpha$时非零, 则此信号称为周期平稳信号.

2. 实际计算过程中均采用有限采样长度$N$的时间平均, 并可将周期平稳相关矩阵和周期共轭平稳相关矩阵统一记号, 记作

   $$\hat{R}_{\mathbf{x}\mathbf{u}}=\left\{ \begin{aligned} \hat{\phi}_{\mathbf{x}\mathbf{x}}(n_0,\alpha) & = \overline{[\mathbf{x}[k]\mathbf{x}^H[k]e^{-j2\pi\alpha k}]_{N}} \\ \hat{\phi}_{\mathbf{x}\mathbf{x}^*}(n_0,\alpha) & = \overline{[\mathbf{x}[k]\mathbf{x}^T[k]e^{-j2\pi\alpha k}]_{N}} \end{aligned} \right.$$ 这里$\mathbf{u}[k]=\mathbf{x}[k+n_0]e^{j2\pi\alpha k}$​​表示时频位移矢量.

CAB波束形成的优化问题如下:

$$\begin{alignat}{2} \max_{\mathbf{w}, \mathbf{c}} \quad & \mathbf{w}^H\hat{R}_{\mathbf{x}\mathbf{u}}cc^H\hat{R}_{\mathbf{x}\mathbf{u}}^{H}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{w}^H\mathbf{w}=\mathbf{c}^H\mathbf{c}=1 \end{alignat}$$ 假定这里的$\mathbf{w}, \mathbf{c}$​能使得标量信号$\mathbf{w}^H\mathbf{x}[t]$​和$\mathbf{c}^H\mathbf{u}[t]$​有极高的相关值, 即最大化时间平均量$\left\vert[\mathbf{w}^H\mathbf{x}[t]\mathbf{c}\mathbf{u}^H[t]]_N\right\vert^2$​,这也就顺便获得了期望信号. 由拉格朗日乘子法得$\mathbf{w}, \mathbf{c}$​分别为$\hat{R}_{\mathbf{x}\mathbf{u}}$​的最大奇异值对应的左右奇异向量, 记$\mathbf{w}_{_{CAB}}$​.

要点:

1. 假定了期望信号为周期平稳信号.
2. 假定了期望信号与干扰信号不相关.

C-CAB波束形成

C-CAB波束形成在CAB的基础上应用MVDR, 其优化问题如下:

$$\begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{w}^H\mathbf{w}_{_{CAB}}=1 \end{alignat}$$ 这里$\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}$​为阵列阵列信号$\mathbf{x}[t]$​的协方差矩阵.由拉格朗日乘子法得 $$\mathbf{w}_{_{C-CAB}}=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{w}_{_{CAB}}$$ 要点:

1. 继承了MVDR的问题.

R-CAB波束形成

R-CAB在C-CAB的基础上采用传统的对角线加载技术

$$\mathbf{w}_{_{R-CAB}}=(\mathbf{R}-\mathbf{R}_s+\gamma I)^{-1}\mathbf{w}_{_{CAB}}$$ 这里的$\mathbf{R}_s$​为期望信号部分的自相关矩阵, 单个期望信号的情况下有$\mathbf{R}_s=\sigma_s^2 \mathbf{w}_{_{CAB}}\mathbf{w}_{_{CAB}}^H$​​​​, $\sigma_s^2$​​为期望信号的方差.

要点:

1. 对角线加载技术通过增大小特征值信号(噪声信号)的特征值的方式来减小噪声信号特征值的扰动, 从而减弱了小特征值信号在快拍数有限时的影响.

基于恒模的盲波束形成

基于恒模的盲波束形成的优化问题如下

$$\begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \mathbb{E}\left[\left\vert\left\vert \mathbf{w}^H\mathbf{x}[t]\right\vert^p -1\right\vert^q\right] \end{alignat}$$ 可直接用随机梯度下降方法(最新一个样本)或高斯牛顿方法(最新K个样本)解之, 对应随机梯度恒模算法和LS-CMA.

要点:

1. 基于恒模的方法仅仅对期望信号的模做了约束.

SMI波束形成

SMI波束形成是LCMV波束形成的一种一般化

$$\mathbf{w}_o=\mu\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)$$ 这里$\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}$​为阵列信号$\mathbf{x}[t]$​的协方差矩阵. 当$\mu=\frac{f^*}{\mathbf{a}^H(\theta_d)\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}$​即LCMV.

要点:

1. 假定阵列接收信号由$P$​个信号构成, 体现在协方差矩阵$\mathbf{R}$​​由特征值较大的信号和特征值较小的噪声两部分组成

   $$\mathbf{R}=\sum_{i=1}^P\lambda_i\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^H+\sigma_n^2\sum_{i=P+1}^M\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^H=\sum_{i=1}^P(\lambda_i-\sigma_n^2)\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^H+\sigma_n^2\mathbf{I}$$ 其中$\lambda_1\ge \lambda_2\ge\dots\ge\lambda_P>\lambda_{P+1}=\dots=\lambda_M=\sigma_n^2$​, 继而由矩阵求逆引理得 $$\mathbf{w}_o=\mu\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)=\frac{\mu}{\sigma_n^2}\left[\mathbf{a}(\theta_d)-\sum_{i=1}^P\frac{\lambda_i-\sigma_n^2}{\lambda_i}\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^H\mathbf{a}(\theta_d)\right]$$

2. 实际计算由$K$​次采样信号来得到$\mathbf{R}$​的估计值$\hat{\mathbf{R}}=\frac{1}{K}\sum_{i=1}^K\mathbf{x(t_i)}\mathbf{x(t_i)}^H$​, 此时$\hat{\mathbf{R}}$​的特征值很有可能不满足后$M$​​个都一样, 因此就没法完全消除噪声信号带来的影响

   $$\hat{\mathbf{w}}_o=\mu\hat{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)=\frac{\mu}{\hat{\lambda}_M}\left[\mathbf{a}(\theta_d)-\sum_{i=1}^M\frac{\hat{\lambda}_i-\hat{\lambda}_M}{\hat{\lambda}_i}\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^H\mathbf{a}(\theta_d)\right]$$ 我们需要一些技术来降低噪声信号带来的影响.

ADL-SMI波束形成

ADL-SMI是在SMI的基础上加上了自适应的加载量

$$\mathbf{w}_o=\mu(\mathbf{R}+L\mathbf{I})^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)$$ 此时 $$\hat{\mathbf{w}}_o=\mu\hat{\mathbf{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)=\frac{\mu}{\hat{\lambda}_M}\left[\mathbf{a}(\theta_d)-\sum_{i=1}^M\frac{\hat{\lambda}_i-\hat{\lambda}_M}{\hat{\lambda}_i+L}\mathbf{u}_i\mathbf{u}_i^H\mathbf{a}(\theta_d)\right]$$ ADL-SMI波束形成的加载量$L$可由如下方式确定

1. 计算$\xi=\frac{1}{M-P}\sum_{i=P+1}^M\lambda_i$​​​​​
2. 给定常数字$d$​​, $\xi>d$​​视为信噪比较低的情况, 取$L=0$​​; $\xi\le d$​​视为信噪比较高的情况, 取$L$​逐渐变大.

要点:

1. 加载量$L$过大, 同时也会抑制信号,导致SINR降低; 加载量$L$过小, 对噪声的抑制就不明显.
2. 加载量$L$的确定可通过画出方向图$G(\mathbf{w},\theta)=\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta)$来判断, 信号一般具有明显的方向性, 而噪声一般不具备. 适中的$L$能够较好的保留信号同时抑制噪声.

基于空间频域的波束形成

FLMS-ABF

1. 首先对阵列信号$\mathbf{x}[t]$​进行FFT

$$\mathbf{r}[t]=\mathbf{W}\mathbf{x}[t]$$

这里$\mathbf{W}$​​​为$M\times M$​​​​的对称矩阵、酉矩阵

$$\mathbf{W}[u,v]=\frac{1}{\sqrt{M}}\exp(\frac{-j2\pi u v}{M})\quad u,v\in[0,M-1]$$

2. LMS求解 $$\min_{V} \mathbb{E}\left[(d[t]-V^T[t]\mathbf{r}[t])^2\right]$$ 其中$d[t]$​为期望信号, 算法输出值为 $$y[t]=V^T[t]\mathbf{r}[t]$$

要点:

1. LMS本质上为随机梯度方法, 在目标函数强凸(这里的二次函数显然满足)且步长满足$O(1/k)$​​的衰减速率的前提下, 随机梯度方法能以$O(\kappa/k)$​​的速率收敛到其最小值点. 这里的$\kappa$​​指带问题的条件数, 特别地, 这里二次问题的条件数$\kappa$​​恰为矩阵$\mathbf{r}[t]$​​的最大/最小奇异值的模之比$\kappa (\mathbf{r}[t])={\frac {\sigma _{\text{max}}(\mathbf{r}[t])}{\sigma _{\text{min}}(\mathbf{r}[t])}}$​​, 也即$\mathbf{r}[t]$​​​的自相关矩阵的最大最小特征值之比再开根号.

2. 对于一般的矩阵范数, 矩阵的条件数定义为$\kappa(A)=\Vert A\Vert\Vert A^{-1}\Vert$​​​, 由

   $$\kappa(AB)=\|AB\|\,\|(AB)^{-1} \| \le \|A\|\,\|B\|\,\|B^{-1}\|\,\|A^{-1} \| =\kappa(A)\kappa(B)$$ 以及酉矩阵的条件数为1知, 对阵列信号$\mathbf{x}[t]$进行FFT至少不会增加条件数.

3. 也可在FFT之后再做一步带通滤波, 即

   $$\mathbf{r}[t]=\mathbf{W}_B\mathbf{W}\mathbf{x}[t]$$

小波域的波束形成

1. 首先对阵列信号$\mathbf{x}[t]$​​进行小波变换

$$\mathbf{r}[t]=\mathbf{W}\mathbf{x}[t]$$

这里$\mathbf{W}$.

2. LMS求解 $$\min_{V} \mathbb{E}\left[(d[t]-V^T[t]\mathbf{r}[t])^2\right]$$ 其中$d[t]$​为期望信号, 算法输出值为 $$y[t]=V^T[t]\mathbf{r}[t]$$

要点:

1. 小波变换后的信号自相关性下降, 这进一步改善了问题的条件数.

鲁棒的波束形成

LCMV方法的最大特点为需要知道精确的期望信号导向向量$\mathbf{a}(\theta_d)$​, 而实际情况中的期望信号的导向向量往往不是精确的, 为了提高LCMV波束形成对导向向量$\mathbf{a}(\theta_d)$​​的鲁棒性, 我们有以下几种改进方法.

基于二次正则的方法

基于二次正则的方法为在MVDR(即LCMV中$f=1$​​)优化目标函数的基础上加了一个二次正则:

$$\begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}+\xi\mathbf{w}^H\mathbf{w} \\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)=1 \end{alignat}$$ Lagrange乘子方法求得解为(Diagonal Loading-Sample Matrix Inversion, DL-SMI): $$\mathbf{w}_{_{DL-SMI}}=\frac{(\mathbf{R}+\xi \mathbf{I})^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}{\mathbf{a}^H(\theta_d)(\mathbf{R}+\xi \mathbf{I})^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}$$ 要点:

1. 加二次正则等价于对协方差矩阵的特征值都加上了一个常数, 这显著改善问题的条件数(自相关矩阵的最大最小特征值之比再开根号), 增强了解的鲁棒性.
2. 对角加载系数$\xi$​​​需要人为确定.

基于子空间的方法

首先将协方差矩阵通过EVD分解为信号-干扰子空间$S$与噪声子空间$N$:

$$\mathbf{R}=\mathbf{U}_S\Sigma_S\mathbf{U}_S^H+\mathbf{U}_N\Sigma_N\mathbf{U}_N^H$$ 再将导向向量$\mathbf{a}(\theta_d)$投影至信号-干扰子空间$S$. 此时最优权向量为(Sub Space-Sample Matrix Inversion, SS-SMI), SS): $$\mathbf{w}_{_{SS-SMI}}=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{a}(\theta_d)$$ 要点:

1. 仅适用SNR值较高的情形. 当SNR值较高, 信号-干扰子空间$S$与噪声子空间$N$可通过特征值分解鲁棒地区分开来; 当SNR值较低, 信号-干扰子空间$S$与噪声子空间$N$​就没法通过特征值分解鲁棒地区分开来.
2. 在实际的导向向量$\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)$属于信号-干扰子空间$S$中的假设条件下, 投影后的导向向量$\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{a}(\theta_d)$会比$\mathbf{a}(\theta_d)$更加接近实际的导向向量$\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)$​, 从而能够带来更精确的解.
3. 从数学上子空间投影的角度看, 投影操作本身就能够减小导向向量$\mathbf{a}(\theta_d)$​​的误差, 从而增强了鲁棒性.
4. 信号子空间$S$​的维数需要人为确定.

基于贝叶斯的方法

基于贝叶斯的方法的波束形成的最优权向量为(Bayes-Diagonal Loading-Sample Matrix Inversion, B-DL-SMI):

$$\mathbf{w}_{_{B-DL-SMI}}=\sum_{i=1}^Lp(\theta_i\mid \mathbf{X})\mathbf{w}_{_{DL-SMI}}(\theta_i)$$ 其中$\mathbf{X}$​为$K$​个快拍采样的阵列信号; $\mathbf{w}_{_{DL-SMI}}(\theta_i)$​为DL-SMI波束形成以$\theta_i$​作为期望方向的解.

要点:

1. 在DL-SMI的基础上, 结合了加权平均, 这增强了鲁棒性.
2. 需要根据$\mathbf{X}$给出DOA角度的概率估计$p(\theta_i\mid \mathbf{X})$.
3. DL-SMI波束形部分的对角加载系数$\xi$​​需要人为确定.

基于最坏情况的方法

这种方法给导向向量$\mathbf{a}(\theta_d)$​​的留下了一些误差余地$\varepsilon$:

$$\begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w} \\ \mbox{s.t.}\quad &\left\vert\mathbf{w}^H\left(\mathbf{a}(\theta_d)+\delta\right)\right\vert\ge 1, \quad \forall \Vert\delta\Vert\le\varepsilon\\ \end{alignat}$$ 其中$\delta$为导向向量的真实误差, $\mathbf{a}(\theta_d)+\delta$表示真实的导向向量. 可用Lagrange乘子方法求得最优权向量(Worst-Sample Matrix Inversion, W-SMI): $$\mathbf{w}_{_{W-SMI}}=\frac{(\mathbf{R}+\lambda\varepsilon^2\mathbf{I})^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}{\lambda\mathbf{a}^H(\theta_d)(\mathbf{R}+\lambda\varepsilon^2 \mathbf{I})^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)-1}$$ 要点:

1. 给导向向量$\mathbf{a}(\theta_d)$​​留下的了一些误差余地带来了鲁棒性.
2. Lagrange乘子$\lambda$​​​​​需要将最优权向量入原问题后用Newton迭代得到, 计算量较大.
3. 误差余地$\varepsilon$需要人为确定.

基于概率约束的方法

当导向向量误差$\delta$的分布已知, 可仅约束发生概率充分大的那些真实导向向量(Probability Constraint-Sample Matrix Inversion, PC-SMI)

$$\begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w} \\ \mbox{s.t.}\quad &\mbox{Pr}\left\{\left\vert\mathbf{w}^H\left(\mathbf{a}(\theta_d)+\delta\right)\right\vert\ge 1\right\}\ge p\\ \end{alignat}$$ 比如假定导向向量误差$\delta$​满足零均值复高斯分布, 上述问题等价于 $$\begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w} \\ \mbox{s.t.}\quad &\sqrt{2}\mbox{erf}^{-1}(\sqrt{p})\Vert \mathbf{C}_{\delta}^{1/2}\mathbf{w}\Vert\le\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)-1\\ \end{alignat}$$ 其中$\mbox{erf}^{-1}(z)=\frac{2}{\sqrt{\pi}}\int_{0}^z e^{-x^2}\mbox{d}x$, $\mathbf{C}_{\delta}$为导向向量误差$\delta$的二阶统计. 当$\mathbf{C}_{\delta}=\sigma_{\delta}^2\mathbf{I}$和$\varepsilon=\sigma_{\delta}\sqrt{2}\mbox{erf}^{-1}(\sqrt{p})$, 基于概率约束的方法就等价于基于最坏情况的方法.

要点:

1. 概率值$p$需要人为确定.