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波束形成算法

前言: 本文根据张小飞的阵列信号处理理论与应用第2版一书整理了波束形成算法

自适应波束形成(Adaptive beamforming), 又称空域滤波, 它能够根据阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)的变化自适应的改变权重向量\(\mathbf{w}\), 输出对阵列输出加权求和\(y[n]\), 以达到增强期望信号, 抑制干扰的目的。p.s. 粗体\(\mathbf{w}\)表示向量/矩阵, 常规体\(d[t]\)表示标量。 \[ y[t]=\mathbf{w}^H\mathbf{x}[t] \] 几个要点:

  1. 假定任意时刻信号在各阵元上的振幅相同, \(\mathbf{w}\)选用移相器\(\mathbf{a}(\theta)=[1,...,e^{-j(M-1)w\tau}]\), \(w=2\pi f=\frac{2\pi c}{\lambda}\), \(\tau=\frac{d\sin\theta}{c}\).

  2. 阵列信号由波达方向为\(\theta_d\)的期望信号\(d[t]\)、波达方向为\(\theta_j\)\(J\)个干扰信号\(i_j[t]\)和白噪声\(\mathbf{n}[t]\)构成 \[ \mathbf{x}[t]=\mathbf{a}(\theta_d)d[t]+\sum_{j=1}^J\mathbf{a}(\theta_j)i_j[t]+\mathbf{n}[t]\label{model} \] 期望能从\(\mathbf{x}[t]\)恢复出\(d[t]\).

  3. 如果两个同频信号的空间方位角间隔大于阵列间隔的倒数时, 它们方可被分辨开, 这是瑞利限.

LCMV波束形成

波束形成器输出的平均功率为: \[ P(\mathbf{w})=\mathbb{E}\left[\left\vert y[t]\right\vert^2\right]=\mathbb{E}\left[\left\vert d[t]\right\vert^2\right]\left\vert\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)\right\vert^2+\sum_{j=1}^J\mathbb{E}\left[\left\vert i_j[t]\right\vert^2\right]\left\vert\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_j)\right\vert^2+\sigma_n^2\Vert\mathbf{w}\Vert^2 \] LCMV波束形成的优化问题如下: \[ \begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)=f \end{alignat} \] 其中\(\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}\)为阵列阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)的协方差矩阵. Lagrange乘子方法求得LCMV波束形成的最优权向量: \[ \mathbf{w}_o=\frac{f^*\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}{\mathbf{a}^H(\theta_d)\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)} \]\(d[t]=\mathbf{w}_o^H\mathbf{x}[t]\), 下面不再赘述. 特别地, 当\(f=1\)时称MVDR波束形成.

要点

  1. 需要知道精确的期望信号导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\).

GSC波束形成

GSC波束形成的优化问题如下: \[ \begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{R}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{C}^H\mathbf{w}=\mathbf{f} \end{alignat} \] 其中\(\mathbf{C}\)\(M\times(J+1)\)维约束矩阵. 可由Lagrange乘子方法求得GSC波束形成的最优权向量: \[ \mathbf{w}_o=\mathbf{R}^{-1}\mathbf{C}(\mathbf{C}^H\mathbf{R}^{-1}\mathbf{C})^{-1}\mathbf{f}\label{GSC1} \] 也可由正交子空间方法求得最优权向量: \[ \mathbf{w}_o=\mathbf{w}_{q}-\mathbf{B}\mathbf{w}_a=\mathbf{w}_{q}-\mathbf{B}(\mathbf{B}^H\mathbf{R}\mathbf{B})^{-1}\mathbf{B}^H\mathbf{R}\mathbf{w}_q\label{GSC2} \] 其中\(\mathbf{w}_q=(\mathbf{C\mathbf{C}^H})^{-1}\mathbf{C}\mathbf{f}\), 阻塞矩阵\(\mathbf{B}\)的列向量位\(\mathbf{C}\)的正交补空间中.

要点:

  1. \(\mathbf{C}\), \(\mathbf{f}\)需要人为确定, 且\(\mathbf{C}\)包含\(\mathbf{a}(\theta_d)\).
  2. 由于阵元增益存在幅度误差和相位误差\(\mathbf{G}\), 实际的期望信号导向向量\(\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)\)不完全在\(\mathbf{C}\)张成的空间中, 此时\(\mathbf{B}^H\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)d[t]\neq 0\), 就会出现期望相消的现象.
  3. 要求\(J+1<M\).

IGSC波束形成

对协方差矩阵\(\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}\)进行特征值分解, 用最大的\(J+1\)个特征值对应的特征向量构成信号子空间\(\mathbf{U}\), 并将\(\mathbf{a}(\theta_d)\)投影到信号子空间中: \[ \mathbf{a}'(\theta_d)=\mathbf{U}\mathbf{U}^H\mathbf{a}(\theta_d) \] 这里假定假定\(\mathbf{C}=\mathbf{a}'(\theta_d)\), 按照公式\(\ref{GSC1}\)\(\ref{GSC2}\)计算求得最优权向量.

要点:

  1. 假设实际的导向向量\(\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)\)在信号子空间\(\mathbf{U}\)中, \(\mathbf{a}'(\theta_d)\)会比\(\mathbf{a}(\theta_d)\)更加接近实际的导向向量\(\mathbf{G}\mathbf{a}(\theta_d)\).
  2. 当白噪声信号的能量较大, 信号子空间会包含噪声, 波束形成图会有畸变.
  3. 要求\(J+1<M\), 且当\(J+1=M\)时, 投影为恒等变换.

ES-GSC波束形成

对协方差矩阵\(\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}\)进行特征值分解, 用最大的\(J+1\)\(J\)个特征值对应的特征向量与期望信号的导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\)构成信号子空间\(\mathbf{U}\), 对\(\mathbf{U}\)再做奇异值分解, 最后按照公式\(\ref{GSC1}\)\(\ref{GSC2}\)计算求得的最优权向量\(\mathbf{w}_{_{GSC}}\)投影至左奇异向量构成的空间\(\mathbf{U}_S\)中: \[ \mathbf{w}_{_{ES-GSC}}=\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{w}_{_{GSC}} \] 要点:

  1. 带上期望信号导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\)的信号子空间\(\mathbf{U}\)再对\(\mathbf{a}(\theta_d)\)做投影失去意义, 因此直接投影最优权向量.
  2. 引入\(\mathbf{a}(\theta_d)\), 这降低了信号子空间的噪声, 因此具有较好的噪声鲁棒性.
  3. 要求\(J+1<M\).

EBS波束形成

对协方差矩阵\(\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}\)进行特征值分解, 用最大的\(J+1\)个特征值对应的特征向量构成信号子空间\(\mathbf{U}_S\), 剩下的特征值对应的特征向量构成噪声子空间\(\mathbf{U}_N\). 将SMI波束形成算法(LCMV波束形成属于其中)得到的最优权向量\(\mathbf{w}_o=\mu\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)\)投影至信号子空间\(\mathbf{U}_S\)中: \[ \mathbf{w}_{_{EBS}}=\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{w}_{o} \] 要点:

  1. 可类比IGSC波束形成, 区别在于对\(\mathbf{a}(\theta_d)\)\(\mathbf{w}_o\)做投影.
  2. 信号子空间\(\mathbf{U}_S\)必须包含期望信号导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\), 否则投影不是最优的.
  3. 当白噪声信号的能量较大, 信号子空间会包含噪声, 波束形成图会有畸变.
  4. 要求\(J+1<M\), 且当\(J+1=M\)时, 投影为恒等变换.

IEBS波束形成

对协方差矩阵\(\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}\)进行特征值分解, 用最大的\(J+1\)\(J\)个特征值对应的特征向量与期望信号的导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\)构成信号子空间\(\mathbf{U}\), 对\(\mathbf{U}\)再做奇异值分解, 将SMI波束形成算法(LCMV波束形成属于其中)得到的最优权向量\(\mathbf{w}_o=\mu\mathbf{R}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)\)投影至左奇异向量构成的空间\(\mathbf{U}_S\)中: \[ \mathbf{w}_{_{IEBS}}=\mathbf{U}_S\mathbf{U}_S^H\mathbf{w}_{o} \] 要点:

  1. 可类比ES-GSC波束形成, 区别在于对\(\mathbf{w}_{_{GSC}}\)\(\mathbf{w}_o\)做投影.
  2. 引入\(\mathbf{a}(\theta_d)\), 这降低了信号子空间的噪声, 因此具有较好的噪声鲁棒性.
  3. 要求\(J+1<M\).

基于斜投影的波束形成

关于投影:

  1. \(P\) is a projection along null space \(V\) onto range space \(U\).
  2. In Hilbert space, we have the concept of inner \(\langle u_1, v_1 \rangle=u_1^Hv_1\), then the concept of orthogonality\(\langle u_1, v_1 \rangle=0\).
  3. If \(U\) and \(V\) are orthogonal, call \(P\) orthogonal projection; If \(U\) and \(V\) are non-orthogonal, call \(P\) oblique projection(斜投影);
  4. In orthogonal projection, when \(U\) are orthonormal basis(正交基), \(P=UU^H\); when \(U\) are not orthonormal basis \(P=U(U^HU)^{-1}U^H\); for general inner product \(\langle u_1, v_1 \rangle=u_1^HDv_1\), \(P=U(U^HDU)^{-1}U^HD\).
  5. In oblique projection, \(P=U(B^HU)^{-1}B^H\), where \(B\) is the orthogonal complement of null space \(V\).

如下定义斜投影算子\(E_{AB}\)为沿着\(B\)\(A\)上的投影: \[ E_{AB}=A\left(A^HP_B^\perp A\right)^{-1}A^HP_B^\perp \] 其中\(P_B^\perp=I-B(B^HB)^{-1}B^H\). 定义\(B=\left[\mathbf{a}(\theta_1),...,\mathbf{a}(\theta_J)\right]\), \(B\)\(\mathbf{a}(\theta_d)\)显然不正交. 将阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)沿着\(B\)斜投影到\(\mathbf{a}(\theta_d)\)上: \[ \mathbf{x}'[t]=E_{\mathbf{a}(\theta_d)B}\mathbf{x}[t]=\mathbf{a}(\theta_d)\left(\mathbf{a}(\theta_d)^HP_B^\perp \mathbf{a}(\theta_d)\right)^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)^HP_B^\perp\mathbf{x}[t] \] 接着进行空域滤波匹配, 得到期望信号: \[ d[t]=\mathbf{a}(\theta_d)^H\mathbf{x}'[t] \] 要点:

  1. 该算法不涉及权重向量\(\mathbf{w}\).
  2. \(P_B^\perp\)难以计算, 一般对协方差矩阵\(\mathbf{R}\in\mathbb{C}^{M\times M}\)进行特征值分解\(\mathbf{R}=U\Sigma U^H\), 用除前\(J+1\)个特征值之外的特征值的均值作为白噪声方差\(\sigma^2\)的估计值, 定义\(\mathbf{R}_A=\mathbf{R}-\sigma^2I\),用\(\mathbf{R}_A\)的伪逆\(\mathbf{R}_A^+\)取代\(P_B^\perp\).
  3. 要求\(J+1<M\).

AMV波束形成

AMV波束形成的优化问题如下: \[ \begin{alignat}{2} \min_{\mathbf{w}} \quad & \mathbf{w}^H\mathbf{\tilde{R}}\mathbf{w}\\ \mbox{s.t.}\quad &\mathbf{w}^H\mathbf{a}(\theta_d)=1 \end{alignat} \] 其中\(\mathbf{\tilde{R}}=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\mathbf{a}(\theta_d)\mathbf{a}(\theta_d)^H \mathrm{d}\theta\)为阵列固有的协方差矩阵. Lagrange乘子方法求得AMV波束形成的最优权向量: \[ \mathbf{w}_o=\frac{\mathbf{\tilde{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)}{\mathbf{a}^H(\theta_d)\mathbf{\tilde{R}}^{-1}\mathbf{a}(\theta_d)} \] 要点

  1. 假设入射信号角度为\([0,2\pi]\)上的独立均匀抽样, 阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)的协方差矩阵\(\mathbf{R}\)会随着入射信号数的增大而逐渐趋向\(\mathbf{\tilde{R}}\), 因此AMV为入射信号无穷情形下的LCMV.
  2. 需要知道精确的期望信号导向向量\(\mathbf{a}(\theta_d)\).

基于四阶累积量的波束形成

关于累积量:

  1. \(M\)维随机变量\(\mathbf{x}[t]\)\(r=k_1+\cdots+k_M\)阶累积量定义为 \[ C_{k_1,...,k_M}=\frac{\partial^r\Psi(\omega_1,\dots,\omega_M)}{(\partial\omega_1)^{k_1}\cdots(\partial\omega_M)^{k_M}}\mid_{\omega_i=0} \] 其中\(\Psi(\omega_1,\dots,\omega_M)=\ln\left(\mathbb{E}\left[\omega_1x_1[t]+\cdots+\omega_M x_M[t]\right]\right)\)

  2. 零均值\(M\)维随机变量\(\mathbf{x}[t]\)的四阶累积量与矩有如下关系 \[ cum\{X,Y,Z,W\}=\mathbb{E}(XYZW)-\mathbb{E}(XY)\mathbb{E}(ZW)-\mathbb{E}(XZ)\mathbb{E}(YW)-\mathbb{E}(XW)\mathbb{E}(YZ) \] 比如 \[ cum\{x_1[t], x_1^*[t],x_1^*[t], x_m[t]\}=\mathbb{E}(x_1[t]x_1^*[t]x_1^*[t]x_m[t])-\mathbb{E}(x_1[t]x_1^*[t])\mathbb{E}(x_1^*[t]x_m[t])-\mathbb{E}(x_1[t]x_1^*[t])\mathbb{E}(x_1^*[t]x_m[t])-\mathbb{E}(x_1[t]x_m[t])\mathbb{E}(x_1^*[t]x_1^*[t]) \]

  3. \(d[t]\)\(i_j[t]\)独立, 有 \[ cum\{d[t]+i_j[t], d[t]+i_j[t]\}=cum\{d[t], d[t]\}+cum\{i_j[t], i_j[t]\}\label{cum1} \]

  4. \(i_j[t]\)服从高斯分布, 有 \[ cum\{i_j[t], i_j[t], i_j[t],...\}=0\label{cum2} \] 即高斯信号三阶级以上的累积量为0.

定义阵列信号\(\mathbf{x}[t]\)的四阶累积量为 \[ C_{4m}=cum\{x_1[t], x_1^*[t],x_1^*[t], x_m[t]\}, m=1,\dots,M \]\(\mathbf{C}_4=[C_{41},\dots,C_{4M}]\), 可以证明, \(\mathbf{C}_4\)只与\(\mathbf{a}(\theta_d)\)相差一个常数\(\beta\), 因此可以作为\(\mathbf{a}(\theta_d)\)的估计值. 最后可用LCMV波束形成的到最优权向量 \[ \mathbf{w}_{_{cum1}}=\beta\mathbf{R}^{-1}\mathbf{C}_4 \] 或是进行盲波束形成 \[ \mathbf{w}_{_{cum2}}=\rho\{\mathbf{R}^{-1}\sigma^2\mathbf{C}_4\mathbf{C}_4^H\} \] 其中\(\rho\{\}\)表示求最大特征值对应的特征向量, \(\sigma^2\)为期望信号的功率.

要点:

  1. 要求期望信号\(d[t]\)\(J\)个干扰信号\(i_j[t]\)和白噪声\(\mathbf{n}[t]\)均两两独立, 且假定期望信号\(d[t]\)为非高斯信号, 而\(J\)个干扰信号\(i_j[t]\)和白噪声\(\mathbf{n}[t]\)均为高斯信号.

  2. 结合\(\ref{model}\), \(\mathbf{C}_4=\beta\mathbf{a}(\theta_d)\)的证明只需要用到性质\(\ref{cum1}\), \(\ref{cum2}\) \[ \begin{alignat}{2} C_{4m}& =cum\{a_1(\theta_d)d[t], a_1^*(\theta_d)d^*[t], a_1^*(\theta_d)d^*[t], a_m(\theta_d)d[t]\}\\ &=\vert a_1(\theta_d)\vert^2a_1^*(\theta_d)cum\{d[t], d^*[t], d^*[t], d[t]\}a_m(\theta_d)\\ &=\beta a_m(\theta_d) \end{alignat} \] 因此\(\beta=\vert a_1(\theta_d)\vert^2a_1^*(\theta_d)cum\{d[t], d^*[t], d^*[t], d[t]\}\). 当干扰信号\(i_1[t]\)为非高斯信号, 此时\(\mathbf{C}_4=\beta_1\mathbf{a}(\theta_d)+\beta_2\mathbf{a}(\theta_1)\), 且\(\beta_2=\vert a_1(\theta_1)\vert^2a_1^*(\theta_1)cum\{i_1[t], i_1^*[t], i_1^*[t], i_1[t]\}\).

CAB波束形成

未完待续......